在統(tǒng)計學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一種廣泛使用的線性回歸模型參數(shù)估計方法。通過該方法，我們能夠從樣本數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出最優(yōu)的回歸系數(shù)，從而建立輸入變量與目標(biāo)變量之間的關(guān)系模型。
什么是OLS回歸？
OLS回歸的目標(biāo)是最小化預(yù)測值與實際觀測值之間的平方誤差之和。簡單來說，就是找到一組回歸系數(shù)，使得模型擬合的數(shù)據(jù)點到直線的距離平方和達(dá)到最小。
OLS回歸系數(shù)公式
對于一個簡單的線性回歸問題，假設(shè)我們有n個樣本點 \((x_i, y_i)\)，其中\(zhòng)(i=1,2,...,n\)。我們需要確定一條最佳擬合直線 \(y = \beta_0 + \beta_1 x\) 來描述這些點的關(guān)系。這里的\(\beta_0\) 是截距項，而\(\beta_1\) 是斜率項。
根據(jù)OLS原理，這兩個參數(shù)可以通過以下公式計算得出：
\[
\beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
\]
\[
\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x}
\]
其中，\(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\) 分別代表自變量和因變量的平均值。
多元線性回歸中的應(yīng)用
當(dāng)涉及到多個自變量時，情況會稍微復(fù)雜一些。假設(shè)有p個自變量\(X_1, X_2, ..., X_p\)，則多元線性回歸模型可以表示為：
\[Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + ... + \beta_p X_p + \epsilon\]
這里，\(\epsilon\) 表示誤差項。
為了求解所有回歸系數(shù)\(\beta_0, \beta_1, ..., \beta_p\)，我們可以使用矩陣形式表達(dá)上述方程，并利用矩陣運算來簡化計算過程。最終得到的系數(shù)向量\(\beta\)可以通過如下公式獲得：
\[\beta = (X^T X)^{-1} X^T Y\]
其中，\(X\) 是設(shè)計矩陣（包含常數(shù)列以及每個自變量的一列），\(Y\) 是響應(yīng)變量的向量。
結(jié)論
OLS回歸是一種強(qiáng)大且靈活的數(shù)據(jù)分析工具，它不僅適用于學(xué)術(shù)研究，在商業(yè)決策支持系統(tǒng)、金融預(yù)測等多個實際應(yīng)用場景中也發(fā)揮著重要作用。掌握其基本原理及公式有助于更好地理解和應(yīng)用這一技術(shù)。
