【特征多項(xiàng)式的定義】在數(shù)學(xué)中，尤其是線性代數(shù)領(lǐng)域，特征多項(xiàng)式是一個(gè)非常重要的概念，它與矩陣的特征值和特征向量密切相關(guān)。通過特征多項(xiàng)式，我們可以求解矩陣的特征值，并進(jìn)一步分析矩陣的性質(zhì)，如可對(duì)角化、行列式、跡等。
一、特征多項(xiàng)式的定義
對(duì)于一個(gè) $ n \times n $ 的方陣 $ A $，其特征多項(xiàng)式是關(guān)于變量 $ \lambda $ 的多項(xiàng)式，定義為：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是一個(gè)標(biāo)量；
- $ I $ 是單位矩陣；
- $ \det $ 表示行列式運(yùn)算。
該多項(xiàng)式的根即為矩陣 $ A $ 的特征值，而對(duì)應(yīng)的非零向量稱為特征向量。
二、特征多項(xiàng)式的性質(zhì)總結(jié)
| 特征 | 內(nèi)容說明 |
| 定義形式 | $ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) $ |
| 次數(shù) | $ n $（與矩陣階數(shù)相同） |
| 系數(shù) | 可由矩陣的元素計(jì)算得出，例如： - 常數(shù)項(xiàng)為 $ (-1)^n \cdot \det(A) $ - 最高次項(xiàng)系數(shù)為 $ (-1)^n $ - 次高次項(xiàng)系數(shù)為 $ -\text{tr}(A) $（即矩陣的跡） |
| 根的意義 | 多項(xiàng)式的根為矩陣的特征值 |
| 與特征向量的關(guān)系 | 對(duì)于每個(gè)特征值 $ \lambda $，存在非零向量 $ v $ 滿足 $ Av = \lambda v $ |
| 與矩陣相似性 | 相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式 |
| 與矩陣的可逆性 | 若 $ \lambda = 0 $ 是特征值，則矩陣不可逆 |
三、舉例說明
設(shè)矩陣 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，則其特征多項(xiàng)式為：
$$
p(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展開后得到：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
該多項(xiàng)式的根為 $ \lambda_1 = 2 $ 和 $ \lambda_2 = 3 $，即為矩陣 $ A $ 的兩個(gè)特征值。
四、總結(jié)
特征多項(xiàng)式是研究矩陣性質(zhì)的重要工具，能夠幫助我們理解矩陣的結(jié)構(gòu)和行為。通過計(jì)算特征多項(xiàng)式，我們可以得到矩陣的特征值，從而進(jìn)一步分析其穩(wěn)定性、變換特性等。在實(shí)際應(yīng)用中，特征多項(xiàng)式廣泛用于物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。
