【離散型隨機變量方差公式如何求】在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，離散型隨機變量的方差是一個重要的概念，用于衡量隨機變量與其期望值之間的偏離程度。理解并掌握方差的計算方法對于分析數(shù)據(jù)、進行統(tǒng)計推斷具有重要意義。
一、什么是離散型隨機變量的方差？
設(shè) $ X $ 是一個離散型隨機變量，其可能取值為 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，對應(yīng)的概率分別為 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，其中 $ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 $。則隨機變量 $ X $ 的方差（Variance）定義為：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2
$$
也可以寫成：
$$
\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2
$$
其中：
- $ E[X] $ 是 $ X $ 的期望（均值）
- $ E[X^2] $ 是 $ X^2 $ 的期望
二、方差的計算步驟
1. 計算期望 $ E[X] $
$$
E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 計算 $ E[X^2] $
$$
E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i
$$
3. 代入方差公式
$$
\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2
$$
三、總結(jié)與表格展示
| 步驟 | 內(nèi)容 | 公式 |
| 1 | 計算期望 $ E[X] $ | $ E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $ |
| 2 | 計算 $ E[X^2] $ | $ E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i $ |
| 3 | 計算方差 | $ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $ |
四、舉例說明
假設(shè)一個離散型隨機變量 $ X $ 的分布如下：
| $ x_i $ | 1 | 2 | 3 |
| $ p_i $ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
1. 計算期望：
$$
E[X] = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
$$
2. 計算 $ E[X^2] $：
$$
E[X^2] = 1^2 \times 0.2 + 2^2 \times 0.5 + 3^2 \times 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9
$$
3. 計算方差：
$$
\text{Var}(X) = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49
$$
五、注意事項
- 方差越大，表示隨機變量的波動性越強。
- 若所有 $ p_i $ 都集中在某一點，則方差為 0。
- 在實際應(yīng)用中，方差常用于衡量風(fēng)險、不確定性等。
通過以上內(nèi)容，我們可以清晰地了解離散型隨機變量方差的計算方法及其意義。掌握這些基本知識有助于我們更好地理解和分析概率問題。
