【關于log的常用公式】在數(shù)學和計算機科學中，對數(shù)（log）是一個非常重要的概念，廣泛應用于算法分析、數(shù)據(jù)結構、信息論以及物理等領域。掌握對數(shù)的基本性質和常用公式，有助于更深入地理解相關知識，并提高解決問題的效率。
以下是一些關于對數(shù)的常用公式總結：
一、基本定義
設 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $，則對于任意正實數(shù) $ x $，有：
$$
\log_a x = y \iff a^y = x
$$
其中，$ a $ 是底數(shù)，$ x $ 是真數(shù)，$ y $ 是對數(shù)值。
二、常用對數(shù)公式
| 公式 | 表達式 | 說明 |
| 1 | $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ | 對數(shù)的乘積法則 |
| 2 | $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ | 對數(shù)的商法則 |
| 3 | $\log_a x^n = n \log_a x$ | 冪的對數(shù)法則 |
| 4 | $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ | 換底公式 |
| 5 | $\log_a a = 1$ | 底數(shù)與真數(shù)相同時的結果 |
| 6 | $\log_a 1 = 0$ | 真數(shù)為1時的結果 |
| 7 | $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ | 底數(shù)為冪時的轉換 |
| 8 | $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ | 連續(xù)對數(shù)相乘的性質 |
三、自然對數(shù)與常用對數(shù)
- 自然對數(shù)：以 $ e $ 為底的對數(shù)，記作 $ \ln x $
- 常用對數(shù)：以 10 為底的對數(shù)，記作 $ \log x $
它們之間的關系可以通過換底公式表示：
$$
\ln x = \frac{\log x}{\log e} \quad \text{或} \quad \log x = \frac{\ln x}{\ln 10}
$$
四、應用示例
1. 簡化表達式
$$
\log_2 (8 \times 16) = \log_2 8 + \log_2 16 = 3 + 4 = 7
$$
2. 換底計算
$$
\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} \approx \frac{0.9542}{0.4771} \approx 2
$$
3. 冪的對數(shù)
$$
\log_5 (25^3) = 3 \log_5 25 = 3 \times 2 = 6
$$
五、注意事項
- 對數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1；
- 對數(shù)的真數(shù)必須為正數(shù)；
- 在實際應用中，常常使用自然對數(shù)或常用對數(shù)進行計算；
- 對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，具有單調性和連續(xù)性。
通過掌握這些常用的對數(shù)公式，可以更靈活地處理涉及對數(shù)的問題，提升數(shù)學思維能力和解題效率。
