【方差公式怎么計(jì)算,舉例說(shuō)明!】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，方差是一個(gè)用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)與其平均值之間差異程度的指標(biāo)。它可以幫助我們了解數(shù)據(jù)的波動(dòng)性或分散程度。本文將對(duì)方差公式進(jìn)行總結(jié)，并通過(guò)實(shí)例幫助理解其計(jì)算方法。
一、方差的基本概念
- 方差（Variance）：表示一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)之間的平方差的平均值。
- 用途：用于衡量數(shù)據(jù)的離散程度，數(shù)值越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)越分散；數(shù)值越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中。
二、方差的計(jì)算公式
根據(jù)數(shù)據(jù)類(lèi)型的不同，方差可以分為兩種：
| 類(lèi)型 | 公式 | 說(shuō)明 |
| 總體方差 | $ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2 $ | N為總體數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，μ為總體均值 |
| 樣本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 $ | n為樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，$\bar{x}$為樣本均值 |
> 注：樣本方差使用 $ n-1 $ 而不是 $ n $，是為了無(wú)偏估計(jì)總體方差。
三、方差的計(jì)算步驟
1. 計(jì)算數(shù)據(jù)集的平均值（均值）；
2. 每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)減去平均值，得到偏差；
3. 將每個(gè)偏差平方；
4. 對(duì)所有平方偏差求和；
5. 除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（總體）或數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)減一（樣本）。
四、舉例說(shuō)明
假設(shè)有一組數(shù)據(jù)：5, 7, 9, 11, 13
步驟一：計(jì)算平均值
$$
\bar{x} = \frac{5 + 7 + 9 + 11 + 13}{5} = \frac{45}{5} = 9
$$
步驟二：計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差
| 數(shù)據(jù) $ x_i $ | 偏差 $ x_i - \bar{x} $ | 平方偏差 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | -4 | 16 |
| 7 | -2 | 4 |
| 9 | 0 | 0 |
| 11 | 2 | 4 |
| 13 | 4 | 16 |
步驟三：求平方偏差之和
$$
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
$$
步驟四：計(jì)算方差
- 總體方差：
$$
\sigma^2 = \frac{40}{5} = 8
$$
- 樣本方差：
$$
s^2 = \frac{40}{5-1} = \frac{40}{4} = 10
$$
五、總結(jié)
| 項(xiàng)目 | 內(nèi)容 |
| 方差定義 | 數(shù)據(jù)與平均值的平方差的平均值 |
| 公式 | 總體方差：$ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum(x_i - \mu)^2 $ 樣本方差：$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum(x_i - \bar{x})^2 $ |
| 計(jì)算步驟 | 1. 求平均值；2. 求偏差；3. 平方偏差；4. 求和；5. 除以N或n-1 |
| 示例數(shù)據(jù) | 5, 7, 9, 11, 13 |
| 總體方差 | 8 |
| 樣本方差 | 10 |
通過(guò)以上內(nèi)容，我們可以清晰地了解方差的計(jì)算方式及其實(shí)際應(yīng)用。在數(shù)據(jù)分析中，掌握方差的計(jì)算方法是非常重要的基礎(chǔ)技能之一。
